Journal de mathématiques pures et appliquées : ou recueil mensuel de mémoires sur les diverses parties des mathématiques / publié par Joseph Liouville

Presse et revues

348 pages

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TABLE DES MATIÈRES
- Pages.
- Minorantes sous-harmoniques, extrémales et compacité; par Marcel Brelot
  .......... Page(s) .......... 1
- Étude de l’énergie cinétique d’un liquide visqueux incompressible emplissant l’espace, quand le temps croît indéfiniment; par Louis Robin
  .......... Page(s) .......... 33
- La rotation de l’ellipsoïde hétérogène étudiée au moyen des fonctions de Lamé; par Marcel Mendes
  .......... Page(s) .......... 51
- Résolution de certaines équations intégrales linéaires de deuxième espèce; par F. Pollaczek
  .......... Page(s) .......... 73
- Sur la forme des espaces topologiques et sur les points fixes des représentations; par Jean Leray
  .......... Page(s) .......... 95
- Sur la position d’un ensemble fermé de points d’un espace topologique; par Jean Leray
  .......... Page(s) .......... 169
- Sur les équations et les transformations; par Jean Leray
  .......... Page(s) .......... 201
- Étude asymptotique des sommes de variables aléatoires liées; par Michel Loève
  .......... Page(s) .......... 249
- TABLE DES MATIÈRES
  .......... Page(s) .......... 319
- FIN DU TOME XXIV DE LA NEUVIÈME SÉRIE.

MINORANTES SOUS-HARMONIQUES, EXTRÉMALES ET CAPACITÉS. 9

Pour voir la seconde partie, prenons un domaine δ et sur ~δ ∩ α un ensemble

*
borélien E dont la différence avec 2 soit intérieurement négligeable. Soit sur o
la fonction borélienne égale à /, sur E, à /2 ailleurs. Si on aura
Alors d'après le lemme 1, sur o, il est majorée par o sauf sur un
ensemble négligeable, donc par f sauf sur un ensemble intérieurement
négligeable. Cela s'étend à tout ouvert du type δ. Alors dans Ω, u sera bien
majoré par f sauf sur un ensemble intérieurement polaire.

REMARQUE 2. — Considérons la famille ~ des fonctions sous-harmoniques u
dans Ω telles que dans tout δ précédent on ait Il y en a une maxima
soit ~f (la régularisée de l'enveloppe supérieure).

Ces fonctions sont aussi les fonctions sous-harmoniques majorées par f sauf
sur ensemble absolument négligeable : en effet soit sur o, ? borélienne ^ f
telle que ~H = ~H. Le lemme montre que u n'est o donc f que sur un
ensemble négligeable. Réciproquement la seconde condition pour une fonction
sous-harmonique u entraîne, si u' est l'enveloppe inférieure de u et f sur o,

et cela montre de plus que

Résumons :

d'où pour les enveloppes supérieures :

On retiendra que si f est borélienne, J et ~ coïncident; en cas d'identité des
ensembles polaires et absolument négligeables, "S et ~ coïncideraient.

Enfin on montrera que si deux fonctions f coïncident sauf sur un ensemble
absolument négligeable, il y a identité des deux familles correspondantes J,
~ ou S'.

III. — Extrémisation d'une fonction sous-harmonique sur un ensemble.

Extrémisation destinasses.

6. Particularisons le problème précédent en vue de retrouver et d'élargir des
théories connues. Nous traiterons un cas fondamental auquel peuvent se
ramener des cas plus étendus par certains côtés.

Fixons dans Rτ un ouvert Ω de complémentaire non polaire (en particulier Rτ
si τ≥3) et soit u sous-harmonique ≤0 dans il. Relativement à l'ensemble E

Journ. de Math., tome XXIV. — Fasc. 1, 1945. 2

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