Titre : Journal de mathématiques pures et appliquées : ou recueil mensuel de mémoires sur les diverses parties des mathématiques / publié par Joseph Liouville
MINORANTES SOUS-HARMONIQUES, EXTRÉMALES ET CAPACITÉS. 7
Parmi les propriétés évidentes soulignons ;
a. Si/=/, quasi partout ~Sf=
b. Sf(P) ≤lim. sup. f( M) ;
c. si ln du type de f tend en décroissant vers f, Si ωn ouvert croissant tend vers Q, l'extrémale pour ωn tend (en décroissant) vers l'extrémale pour Ω.
4. Cas de semi-continuité. — Si / est semi-continue inférieurement, ∑f est l'enveloppe supérieure des pour les ϕ (du type 1, il en existe) continues r et ≤f, et même V enveloppe supérieure des fonctions continues de la famille S (17); elle est donc semi-continue inférieurement.
Arrivons au résultat de Sjôberg très étendu comme suit : ,
Théorème 2. — Si f est semi-continue supérieurement, f et "Sf est fonction maxima de ∑ (plus grande, minorante sous-harmonique) ; elle est continue si f l'est.
C'est aussi l'enveloppe inférieure des Sϕ où ϕ est finie continue ≥f et même la limite de Sϕn pour une suite décroissante ϕn de telles 9 tendant ver's f.
Voyons maintenant ce que donne l'approximation par des fonctions semi- continues. D'abord If est l'enveloppe supérieure des ∑ψ pour les (du type de f) semi-continues supérieurement et ≤f. Passons à la semi-continuité inférieure.
LEMME 1. — Soient u sous-harmonique dans w, 0 ouvert ≠ FL, tel que ~δ⊂ω et sur * *
S une fonction ϕ résolutive pour 0. Si dans 0, u≤ H|, u n'est > ϕ sur 0 que sur un ensemble négligeable relativement à δ.
En considérant que l'enveloppe supérieure de o et de (—n), on se ramène grâce au passage n→∞, au cas où o est bornée inférieurement par une constante K. On pourra alors en conservant les hypothèses remplacer u par son enveloppe supérieure avec une constante ≤ K.
Traitons donc le cas de u bornée inférieurement. De l'inégalité u ≤ résulte que Hϕ majore la plus petite majorante harmonique de u dans δ qui vaut alors (d'après C, n° 2). D'où ou ~H≤0. _
Il suffira donc de s'appuyer sur la u remarque suivante que nous allons établir :
(17) On pourra majorer une fonction u de ∑ par une fonction sous-harmonique continue telle v≤f+ £ et v — e appartiendra à ∑. En effet l'ensemble ω0 où f>- 00 est ouvert et l'on pourra s'aider d'un quadrillage irrégulier convenable sur ω0 avec remplacement de u dans les mailles par les fonctions de Wiener puis réitérant l'opération avec deux autres quadrillages pour faire disparaître les discontinuités.
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