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- FIN DU TOME XX DE LA NEUVIÈME SÉRIE.
- SOMMAIRE DU FASCICULE N° 4
- SOMMAIRE DU FASCICULE N° 3
- SOMMAIRE DU FASCICULE N° 2
- Sur le problème de représentation conforme de Helmholtz. Théorie des sillages et des proues (suite); par Julien KRAVTCHENKO
THÉORÈME DU CALCUL DES PROBABILITÉS DU À SIMMONS. 3
de cette démonstration est analogue à celle de la loi de Laplace au
moyen des probabilités des épreuves répétées.
2. DÉMONSTRATION DE L'INÉGALITÉ P > Q. — Soit p la probabilité con-
stante d'un événement E, et q celle de l'événement contraire E'. La pro-
babilité pour que, au cours de n expériences indépendantes, la répéti-
tion de E soit l', celle de E' soit n - r, est égale, d'après les résultats
classiques, à
Mentionnons quelques propriétés, bien connues d'ailleurs, de ces
probabilités, dont nous aurons besoin dans la suite.
a. La probabilité T,. est le terme d'ordre r+ i du développement en
série du binome (p + q )".
b. L'indice r du plus grand terme du développement satisfait aux
inégalités np — q < rnp + p. Nous pouvons dire que Tr est maximum
lorsque l'indice r est l'entier le plus voisin du nombre np. Si l'on intro-
duit la fréquence r de l'événement en question, nous pouvons aussi
dire que la fréquence la plus probable est celle qui est la plus voisine
de la probabilité. Si np est entier, ce que nous supposons dans la pre-
mière partie du travail, la fréquence la plus probable est égale à la
probabilité, et T,. est maximum pour r=np = m.
Si nous considérons la probabilité Tr comme une fonction de p, et si
nous cherchons la valeur de p pour laquelle cette fonction est maximum,
, 'd. dT r 1 1.
c'est-à- d ire dp =o, nous trouvons encore la re l ation r = np.
Cherchons maintenant la valeur moyenne des valeurs de r
Si np est un nombre entier, la valeur moyenne des r coïncide avec
l'indice pour lequel T, est maximum.
de cette démonstration est analogue à celle de la loi de Laplace au
moyen des probabilités des épreuves répétées.
2. DÉMONSTRATION DE L'INÉGALITÉ P > Q. — Soit p la probabilité con-
stante d'un événement E, et q celle de l'événement contraire E'. La pro-
babilité pour que, au cours de n expériences indépendantes, la répéti-
tion de E soit l', celle de E' soit n - r, est égale, d'après les résultats
classiques, à
Mentionnons quelques propriétés, bien connues d'ailleurs, de ces
probabilités, dont nous aurons besoin dans la suite.
a. La probabilité T,. est le terme d'ordre r+ i du développement en
série du binome (p + q )".
b. L'indice r du plus grand terme du développement satisfait aux
inégalités np — q < rnp + p. Nous pouvons dire que Tr est maximum
lorsque l'indice r est l'entier le plus voisin du nombre np. Si l'on intro-
duit la fréquence r de l'événement en question, nous pouvons aussi
dire que la fréquence la plus probable est celle qui est la plus voisine
de la probabilité. Si np est entier, ce que nous supposons dans la pre-
mière partie du travail, la fréquence la plus probable est égale à la
probabilité, et T,. est maximum pour r=np = m.
Si nous considérons la probabilité Tr comme une fonction de p, et si
nous cherchons la valeur de p pour laquelle cette fonction est maximum,
, 'd. dT r 1 1.
c'est-à- d ire dp =o, nous trouvons encore la re l ation r = np.
Cherchons maintenant la valeur moyenne des valeurs de r
Si np est un nombre entier, la valeur moyenne des r coïncide avec
l'indice pour lequel T, est maximum.
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